不灭的焱

 

学习计算机、网络、IP 地址、子网划分时，进制是最基础的知识之一。

先记住一句话：

进制，本质上就是“逢几进一”。

十进制是“逢 10 进 1”，二进制就是“逢 2 进 1”，八进制就是“逢 8 进 1”，十六进制就是“逢 16 进 1”。

一、什么是“进制”？

我们平时习惯使用的是 十进制 Decimal。

例如：

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
...

为什么 9 后面是 10？

因为十进制只有：

0 ~ 9

一共 10 个数字。

到了 10，就没有新的单个数字可以表示了，所以：

9 + 1 = 10

这就是：

逢十进一。

二、常见的几种进制

进制	英文	可用数字	特点
二进制	Binary	0、1	逢 2 进 1
八进制	Octal	0~7	逢 8 进 1
十进制	Decimal	0~9	逢 10 进 1
十六进制	Hexadecimal	0~9、A~F	逢 16 进 1

其中计算机领域最重要的是：

二进制
十进制
十六进制

三、二进制是什么？

二进制只能使用两个数字：

0
1

所以二进制的数字变化是：

0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
...

注意：

二进制 10

不是我们平时说的“十”。

它代表：

十进制 2

也就是说：

二进制 10 = 十进制 2
二进制 11 = 十进制 3
二进制 100 = 十进制 4

四、为什么二进制 10 等于十进制 2？

这就需要理解一个非常重要的概念：

位权

我们先看十进制：

123

实际上它代表：

1 × 100
+
2 × 10
+
3 × 1

也就是：

1 × 10²
+
2 × 10¹
+
3 × 10⁰

所以：

123
= 100 + 20 + 3
= 123

十进制每一位的权重分别是：

... 1000   100   10   1
     10³   10²   10¹  10⁰

五、二进制的位权

二进制同样如此，只不过底数变成了 2。

例如：

1011

对应：

1 × 2³
0 × 2²
1 × 2¹
1 × 2⁰

也就是：

8 + 0 + 2 + 1
= 11

所以：

二进制 1011
=
十进制 11

六、必须背下来的二进制位权

如果以后学习：

• IP 地址
• 子网掩码
• CIDR
• VLAN
• 网络协议

下面这组数字基本必须熟悉：

二进制位	十进制值
2⁰	1
2¹	2
2²	4
2³	8
2⁴	16
2⁵	32
2⁶	64
2⁷	128
2⁸	256
2⁹	512
2¹⁰	1024

尤其是：

128
64
32
16
8
4
2
1

建议直接背下来。

因为一个 IPv4 地址的每一段就是：

8 bit

也就是：

128 64 32 16 8 4 2 1

七、二进制转十进制

比如：

11010110

按照位权排列：

二进制：

1   1   0   1   0   1   1   0

对应：

128 64  32  16  8   4   2   1

只看数字为 1 的位置：

128
+64
+16
+4
+2

结果：

214

所以：

11010110₂ = 214₁₀

这里下标：

₂

代表二进制。

₁₀

代表十进制。

八、再举几个二进制转十进制例子

例 1

00000001

只有最后一位是 1：

= 1

所以：

00000001 = 1

例 2

00000010

= 2

例 3

00000100

= 4

例 4

00001000

= 8

例 5

11111111

计算：

128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

等于：

255

所以：

11111111₂ = 255₁₀

这也是为什么 IPv4 每一段最大是：

255

比如：

192.168.1.255

九、为什么 8 位二进制最大是 255？

因为：

11111111

等于：

128
+ 64
+ 32
+ 16
+ 8
+ 4
+ 2
+ 1

等于：

255

所以 8 bit 能表示：

0 ~ 255

总共：

256 个数字

也就是：

2⁸ = 256

注意：

能表示 256 个数，但最大数字是 255，因为从 0 开始。

十、十进制转二进制

有两种非常实用的方法。

方法一：凑数法

例如：

192

我们按照：

128 64 32 16 8 4 2 1

开始凑。

先：

192 - 128 = 64

再：

64 - 64 = 0

所以用了：

128
64

没用：

32 16 8 4 2 1

因此：

128 64 32 16 8 4 2 1
 1   1  0  0  0 0 0 0

所以：

192 = 11000000

这在学习 IP 地址的时候非常好用。

例如：168 转二进制

位权：

128 64 32 16 8 4 2 1

先看：

168 - 128 = 40

64 太大，不要：

0

32 可以：

40 - 32 = 8

16 不要：

0

8 可以：

8 - 8 = 0

所以：

128 64 32 16 8 4 2 1
 1   0  1  0 1 0 0 0

因此：

168 = 10101000

于是：

192.168.1.1

实际上就是：

11000000.10101000.00000001.00000001

十一、十进制转二进制：除 2 取余法

例如：

13

不断除以 2：

13 ÷ 2 = 6  余 1
6  ÷ 2 = 3  余 0
3  ÷ 2 = 1  余 1
1  ÷ 2 = 0  余 1

然后：

从下往上读余数。

所以：

1101

因此：

13₁₀ = 1101₂

验证：

8 + 4 + 0 + 1
= 13

十二、八进制是什么？

八进制：

Octal

只能使用：

0 1 2 3 4 5 6 7

没有：

8
9

所以：

八进制：

0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
...

这里：

10₈

实际上等于：

8₁₀

十三、八进制转十进制

例如：

157₈

计算：

1 × 8²
+
5 × 8¹
+
7 × 8⁰

也就是：

1 × 64
+
5 × 8
+
7 × 1

结果：

64 + 40 + 7
= 111

所以：

157₈ = 111₁₀

十四、十六进制是什么？

十六进制英文：

Hexadecimal

通常简称：

Hex

十六进制需要表示：

0 ~ 15

但是我们只有：

0 ~ 9

十个数字。

怎么办？

于是规定：

A = 10
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15

因此：

十进制	十六进制
0	0
1	1
2	2
...	...
9	9
10	A
11	B
12	C
13	D
14	E
15	F
16	10

所以：

10₁₆ = 16₁₀

十五、十六进制转十进制

例如：

2A

因为：

A = 10

所以：

2A₁₆

= 2 × 16¹
+ 10 × 16⁰

= 32 + 10

= 42

所以：

2A₁₆ = 42₁₀

十六、再看一个十六进制

例如：

FF

因为：

F = 15

所以：

FF

= 15 × 16
+ 15

= 240 + 15

= 255

所以：

FF₁₆ = 255₁₀

同时：

11111111₂ = 255₁₀ = FF₁₆

这个关系非常重要。

十七、二进制和十六进制为什么关系特别密切？

因为：

2⁴ = 16

也就是说：

4 位二进制刚好对应 1 位十六进制。

例如：

二进制	十六进制
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

建议把这个表多看几遍。

十八、二进制直接转十六进制

例如：

11010110

从右往左，每 4 位分一组：

1101 0110

分别转换：

1101 = D
0110 = 6

因此：

11010110₂ = D6₁₆

而：

D6₁₆ = 214₁₀

所以：

11010110₂
=
214₁₀
=
D6₁₆

十九、十六进制直接转二进制

反过来也非常简单。

例如：

AF

A：

A = 1010

F：

F = 1111

拼起来：

AF₁₆ = 10101111₂

十进制则是：

10 × 16 + 15
= 175

所以：

AF₁₆
=
10101111₂
=
175₁₀

二十、二进制与八进制之间的关系

因为：

2³ = 8

所以：

3 位二进制 = 1 位八进制。

例如：

10111001

从右往左每 3 位分组。

不足 3 位，前面补 0：

010 111 001

分别转换：

010 = 2

111 = 7

001 = 1

所以：

10111001₂ = 271₈

二十一、四种进制对照表

这张表建议熟悉：

十进制	二进制	八进制	十六进制
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

二十二、计算机为什么使用二进制？

因为计算机底层电子电路最容易表达两种状态：

有电 / 没电
高电平 / 低电平
开 / 关
True / False

刚好可以对应：

1
0

所以计算机底层大量使用：

010101010101...

二十三、bit 和 byte

学习二进制时还有两个非常重要的概念。

bit

一个二进制位：

0

或者：

1

叫：

bit

中文：

比特 / 位

比如：

10110010

就是：

8 bit

Byte

8 bit = 1 Byte

即：

1 字节 = 8 位

例如：

11001010

就是：

1 Byte

所以：

1 Byte = 8 bit

二十四、为什么 1 Byte 能表示 256 种状态？

因为一个 bit 有：

0
1

两种可能。

8 bit：

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

也就是：

2⁸
=
256

所以一个字节：

00000000
~
11111111

对应十进制：

0 ~ 255

二十五、这和 IP 地址有什么关系？

IPv4 地址比如：

192.168.1.10

表面看是：

4 个十进制数字

实际上计算机内部是：

4 × 8 bit
=
32 bit

192：

11000000

168：

10101000

1：

00000001

10：

00001010

因此：

192.168.1.10

真正的二进制形式：

11000000.10101000.00000001.00001010

一共：

32 bit

这也是：

IPv4 = 32 位地址

的来源。

二十六、子网掩码为什么必须懂二进制？

比如常见子网掩码：

255.255.255.0

转换成二进制：

11111111.11111111.11111111.00000000

数一下一共有多少个连续的 1：

8 + 8 + 8 = 24

所以：

255.255.255.0

也可以写成：

/24

即：

192.168.1.0/24

二十七、再看 /26

例如：

/26

意思就是前面有：

26 个 1

因此：

11111111.11111111.11111111.11000000

最后一段：

11000000

转换十进制：

128 + 64 = 192

所以：

/26

对应：

255.255.255.192

这就是二进制和子网划分最直接的关系。

二十八、几个必须熟记的子网数字

如果你是做网络、运维，这组数字非常重要：

二进制	十进制
00000000	0
10000000	128
11000000	192
11100000	224
11110000	240
11111000	248
11111100	252
11111110	254
11111111	255

所以子网掩码经常看到：

0
128
192
224
240
248
252
254
255

不是巧合。

它们实际上就是连续的二进制 1。

二十九、例如 192 是怎么来的？

11000000

对应：

128 64 32 16 8 4 2 1

前两位为 1：

128 + 64
= 192

所以：

11000000₂ = 192₁₀

三十、224 怎么来的？

11100000

就是：

128 + 64 + 32

所以：

224

三十一、240 怎么来的？

11110000

计算：

128 + 64 + 32 + 16

得到：

240

三十二、248 怎么来的？

11111000

计算：

128 + 64 + 32 + 16 + 8

得到：

248

三十三、252 怎么来的？

11111100

计算：

128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4

得到：

252

三十四、254 怎么来的？

11111110

计算：

128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2

得到：

254

三十五、255 怎么来的？

11111111

计算：

128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

得到：

255

三十六、程序中怎么表示不同进制？

很多编程语言都会这样表示。

二进制

通常：

0b

开头。

例如：

0b1010

代表：

10

八进制

通常：

0o

例如：

0o17

代表：

15

十六进制

通常：

0x

例如：

0xFF

代表：

255

所以你以后在 Rust、Java、C、Python 等语言中看到：

0xFF

不要觉得奇怪。

意思就是：

十六进制 FF

三十七、进制转换的核心规律

实际上所有进制转换，本质上只需要掌握一个公式：

数字 × 进制^位置

比如二进制：

1011

就是：

1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰

八进制：

157

就是：

1×8² + 5×8¹ + 7×8⁰

十进制：

157

就是：

1×10² + 5×10¹ + 7×10⁰

十六进制：

1A7

就是：

1×16² + 10×16¹ + 7×16⁰

你会发现：

规则完全一样，只是底数不同。

三十八、初学者最值得背的内容

真正需要记忆的东西其实不多，重点就是：

• 二进制只有 0、1
• 八进制只有 0~7
• 十进制只有 0~9
• 十六进制是 0~9 + A~F
• 二进制位权：128 64 32 16 8 4 2 1
• 8 bit = 1 Byte
• 11111111₂ = 255₁₀ = FF₁₆
• 4 位二进制 = 1 位十六进制
• 3 位二进制 = 1 位八进制
• IPv4 一共 32 bit
• IPv4 每段 8 bit
• /24 = 255.255.255.0

三十九、给你几道入门练习题

你可以自己先算。

第 1 题

00001010₂ = ?

答案：

8 + 2 = 10

第 2 题

11000000₂ = ?

答案：

128 + 64
= 192

第 3 题

11111111₂ = ?

答案：

255

第 4 题

10₁₀ 转二进制

答案：

00001010

第 5 题

255₁₀ 转十六进制

答案：

FF

第 6 题

1010 1111₂

转十六进制：

1010 = A
1111 = F

所以：

AF

四十、最后用一张图理解进制

可以把几种进制想成不同的“计数规则”：

               数字 15
                  │
       ┌──────────┼───────────┐
       │          │           │
       ▼          ▼           ▼
    二进制      十进制       十六进制

     1111          15           F

再比如：

               数字 255
                  │
       ┌──────────┼───────────┐
       │          │           │
       ▼          ▼           ▼
    二进制      十进制       十六进制

   11111111       255           FF

所以不要把：

11111111
255
FF

理解成三个不同的数。

实际上：

它们是同一个数，只是使用了不同的表示方式。

如果你的下一步是学习 IP 地址与子网划分，最优先把这一串彻底熟悉：

128  64  32  16  8  4  2  1

因为后面的 /24、/25、/26、/27、/28、/29、/30，本质上全部建立在这 8 个二进制位之上。